Pergunta # 8bf64

Responda:

# 206.6 "km / h" #

Explicação:

Este é um problema de taxas relacionadas. Para problemas como esse, é essencial tirar uma foto. Considere o diagrama abaixo:

Em seguida, escrevemos uma equação. Se nós chamarmos # R # a distância entre o carro de Rose e o cruzamento, e # F # a distância entre o carro de Frank e o cruzamento, como podemos escrever uma equação encontrando a distância entre os dois a qualquer momento?

Bem, se usarmos o teorema de pythogorean, nós achamos que a distância entre os carros (chame isso # x #) é:

#x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) #

Agora, precisamos encontrar a taxa instantânea de mudança # x # com relação ao tempo (# t #). Então, tomamos a derivada de ambos os lados desta equação em relação ao tempo. Note que você precisará usar diferenciação implícita:

# xdx / dt = 1/2 (F ^ 2 + R ^ 2) ^ (- 1/2) * 2F (dF) / dt + 2R (dR) / dt #

Eu pulei o processo de diferenciação por uma questão de tempo, mas você precisaria usar uma regra de cadeia para trabalhar com a raiz quadrada e diferenciar implícita em qualquer outro lugar.

Agora, ligamos o que sabemos. Observe que as velocidades fornecidas no diagrama são taxas de variação de R e F, enquanto nos é dado que #R = 0,5 # e #F = 0,6 # em um determinado instante de tempo. Conectando isto em:

# xdx / dt = 1/2 ((0.6) ^ 2 + (0.5) ^ 2) ^ (- 1/2) * 2 (0,6) (- 110) + 2 (0,5) (- 120) #

Nota: As velocidades são negativas, pois, tecnicamente, os valores de F e R (distâncias até a interseção) estão diminuindo com o tempo.

Sobre o quê # x #? Bem, vamos voltar para a nossa equação inicial:

#x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) #

Nós sabemos # F # e # R #, então apenas resolvemos # x #:

#x = sqrt (0.6 ^ 2 + 0.5 ^ 2) ~~ 0.781 #

Agora, nós apenas resolvemos # dx / dt #:

# dx / dt = (1/2 ((0.6) ^ 2 + (0.5) ^ 2) ^ (- 1/2) * 2 (0.6) (- 110) + 2 (0.5) (- 120)) /(0.781)#

# = -206.6 "km / h" #

O que isto significa? Bem, isso significa que a distância entre os dois carros é mudando a uma taxa de #-206.6# km / h. Alternativamente, você poderia dizer que a distância entre os dois carros é diminuindo a uma taxa de #206.6# km / h. Tenha muito cuidado com o seu texto. A questão pede para a taxa em que está diminuindo, então você só iria inserir o valor positivo.

Espero que tenha ajudado:)