Qual é a projeção de (-4i + 3k) para (-2i-j + 2k)?

Responda:

A projeção vetorial é #<-28/9,-14/9,28/9>,# a projeção escalar é #14/3#.

Explicação:

Dado # veca = <-4, 0, 3> # e # vecb = <-2, -1,2>, # nós podemos encontrar #proj_ (vecb) veca #, a vetor projeção de # veca # para # vecb # usando a seguinte fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Ou seja, o produto escalar dos dois vetores dividido pela magnitude do # vecb #, multiplicado por # vecb # dividido por sua magnitude. A segunda quantidade é uma quantidade vetorial, pois dividimos um vetor por um escalar. Note que nós dividimos # vecb # pela sua magnitude, a fim de obter um vetor unitário (vetor com magnitude de #1#). Você pode notar que a primeira quantidade é escalar, já que sabemos que quando pegamos o produto escalar de dois vetores, o resultante é um escalar.

Portanto, o escalar projeção de #uma# para # b # é #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #também escrito # | proj_ (vecb) veca | #.

Podemos começar pegando o produto escalar dos dois vetores.

# veca * vecb = <-4, 0, 3> * <-2, -1,2> #

#=> (-4*-2)+(0*-1)+(3*2)#

#=>8+0+6=14#

Então podemos encontrar a magnitude de # vecb # tomando a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada um dos componentes.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((- 2) ^ 2 + (- 1) ^ 2 + (2) ^ 2) #

# => sqrt (4 + 1 + 4) = sqrt (9) = 3 #

E agora temos tudo o que precisamos para encontrar a projeção vetorial de # veca # para # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (14) / 3 * (<-2, -1,2>) / 3 #

#=>(14 < -2,-1,2 >)/9#

#=><-28/9,-14/9,28/9>#

A projeção escalar de # veca # para # vecb # é apenas a primeira metade da fórmula, onde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Portanto, a projeção escalar é #14/3#.

Espero que ajude!