O que é uma solução para a equação diferencial dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Responda:

A solução geral é:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Explicação:

Nós temos:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Podemos coletar termos para variáveis semelhantes:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Qual é uma Equação Diferencial Não Linear Ordinária da Primeira Ordem separável, para que possamos "separar as variáveis" para obter:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Ambas integrais são aquelas de funções padrão, então podemos usar esse conhecimento para integrar diretamente:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

E podemos prontamente reorganizar para # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Levando à solução geral:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Responda:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Explicação:

Esta é uma equação diferencial separável, o que significa que ela pode ser escrita na forma:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Isso pode ser resolvido integrando os dois lados:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Em nosso caso, primeiro precisamos separar a integral da forma correta. Podemos fazer isso dividindo os dois lados por # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Agora podemos integrar os dois lados:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Podemos resolver a integral esquerda com uma substituição de # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

A re-introdução (e a combinação de constantes) fornece:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiplique ambos os lados por # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Divida os dois lados por # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #