Que tipo de seção cônica tem a equação 9y ^ 2 - x ^ 2 - 4x + 54y + 68 = 0?

# 9y ^ 2 x ^ 2 4x + 54y + 68 = 0 # terá uma hipérbole para o seu gráfico.

Como eu sei? Apenas uma rápida verificação dos coeficientes no # x ^ 2 # e a # y ^ 2 # termos dirão …

1) se os coeficientes forem o mesmo número e o mesmo sinal, a figura será um círculo.

2) se os coeficientes forem números diferentes, mas o mesmo sinal, a figura será uma elipse.

3) se os coeficientes forem de sinais opostos, o gráfico será uma hipérbole.

Vamos "resolver" isso: # -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 #

Observe que já fatorei os coeficientes principais e reuni os termos que possuem a mesma variável.

# -1 (x ^ 2 + 4x + 4) +9 (y ^ 2 + 6y + 9) = -68 + -1 (4) + 9 (9) #

Nesta etapa, completei o quadrado adicionando 4 e 9 dentro dos parênteses, mas depois adicionei ao outro lado esses números multiplicados pelos números fatorados -1 e 9.

# -1 (x + 2) ^ 2 + 9 (y + 3) ^ 2 = 9 # Reescreva em formulários fatorados à esquerda.

# -1 (x + 2) ^ 2/9 + (y + 3) ^ 2/1 = 1 # o que parece estranho … então vou mudar a ordem e parecer subtração:

# (y + 3) ^ 2- (x + 2) / 9 = 1 #

Isso é o que eu queria ver; Eu posso dizer o que o centro da hipérbole é (-2, -3), a que distância se mover do centro para chegar aos vértices (para cima e para baixo 1 unidade desde que o termo y é dividido por 1) e a inclinação das assíntotas (#+-1/3#). O "nivelamento" desta inclinação, além da abertura para cima e para baixo das curvas, tornará este gráfico razoavelmente aberto.