Pergunta # 5ea5f

Responda:

Eu encontrei: # 1/2 x-sin (x) cos (x) + c #

Explicação:

Tente isto:

Responda:

Como alternativa, você poderia usar identidades trigonométricas para encontrar o mesmo resultado: # intsin ^ 2xdx = 1/2 (x-sinxcosx) + C #

Explicação:

Além do método de Gio, existe outra maneira de fazer essa integral, usando identidades trigonométricas. (Se você não gosta de trigonometria ou matemática em geral, eu não culpo você por desconsiderar essa resposta - mas às vezes o uso de trigonometria é inevitável em problemas).

A identidade que iremos usar é: # sin ^ 2x = 1/2 (1-cos2x) #.

Podemos, portanto, reescrever a integral da seguinte forma:

# int1 / 2 (1-cos2x) dx #

# = 1 / 2int1-cos2x #

Usando a regra da soma, obtemos:

# 1/2 (int1dx-intcos2xdx) #

A primeira integral simplesmente avalia para # x #. A segunda integral é um pouco mais desafiadora. Sabemos que a integral de # cosx # é # sinx # (Porque # d / dxsinx = cosx #), mas e sobre # cos2x #? Precisamos nos ajustar para a regra da cadeia multiplicando por #1/2#, de modo a equilibrar # 2x #:

# d / dx1 / 2sin2x = 2 * 1 / 2cos2x = cos2x #

assim # intcos2xdx = 1 / 2sin2x + C # (não se esqueça da integração constante!) Usando essa informação, mais o fato de que # int1dx = x + C #, temos:

# 1/2 (cor (vermelho) (int1dx) - cor (azul) (intcos2xdx)) = 1/2 (cor (vermelho) (x) - cor (azul) (1 / 2sin2x)) + C #

Use a identidade # sin2x = 2sinxcosx #, nós achamos:

# 1/2 (x-1 / 2sin2x) + C = 1/2 (x-1/2 (2sinxcosx)) + C #

# = 1/2 (x-sinxcosx) + c #

E essa é a resposta que Gio encontrou usando o método de integração por partes.