A função 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 é máxima, mínima ou ponto de inflexão?

Responda:

• No mins ou maxes
• Ponto de inflexão em #x = -2 / 3 #.

gráfico {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Explicação:

Mins e Maxes

Para um dado # x #-valor (vamos chamá-lo # c #) para ser um max ou min para uma dada função, tem que satisfazer o seguinte:

#f '(c) = 0 # ou indefinido.

Estes valores de # c # também são chamados de seu Pontos críticos.

Nota: Nem todos os pontos críticos são max / min, mas todos os max / min são pontos críticos

Então, vamos encontrá-los para sua função:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Isso não é fator, então vamos tentar a fórmula quadrática:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… e podemos parar aí mesmo. Como você pode ver, acabamos tendo um número negativo sob a raiz quadrada. Portanto, existem sem pontos críticos reais para esta função.

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Pontos de Inflexão

Agora, vamos encontrar pontos de inflexão. Esses são pontos em que o gráfico tem uma alteração na concavidade (ou curvatura). Por um ponto (chame # c #) para ser um ponto de inflexão, deve satisfazer o seguinte:

#f '' (c) = 0 #.

Nota: Nem todos esses pontos são pontos de inflexão, mas todos os pontos de inflexão devem satisfazer este ponto..

Então vamos encontrar estes:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Agora, precisamos verificar se isso é de fato um ponto de inflexão. Então, precisamos verificar isso #f '' (x) # faz de fato mudar sinal em #x = -2 / 3 #.

Então, vamos testar os valores para a direita e esquerda #x = -2 / 3 #:

Certo:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Esquerda:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Não nos importamos tanto com os valores reais, mas como podemos ver claramente, há um número positivo à direita de #x = -2 / 3 #e um número negativo à esquerda de #x = -2 / 3 #. Portanto, é de fato um ponto de inflexão.

Para resumir, #f (x) # não tem pontos críticos (ou min ou max), mas tem um ponto de inflexão em #x = -2 / 3 #.

Vamos dar uma olhada no gráfico de #f (x) # e veja o que esses resultados significam:

gráfico {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Este gráfico está aumentando em todos os lugares, por isso não tem nenhum lugar onde a derivada = 0. No entanto, ele vai de curvado para baixo (côncavo para baixo) para curvado para cima (côncavo para cima) em #x = -2 / 3 #.

Espero que tenha ajudado:)