Como resolver a equação diferencial separável e encontrar a solução particular satisfazendo a condição inicial y ( 4) = 3?

Responda:

Solução Geral: #color (vermelho) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Solução Particular: #color (azul) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Explicação:

Da equação diferencial dada #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

tome nota, que #y '(x) = dy / dx # e #y (x) = y #, assim sendo

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

dividir ambos os lados por #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Multiplique ambos os lados por # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancelar (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

transpor # dx # para o lado esquerdo

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

integrando em ambos os lados, temos os seguintes resultados

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4 + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (vermelho) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Solução Geral

Mas #y (-4) = 3 # significa quando # x = -4 #, # y = 3 #

Agora podemos resolver para # C_1 # para resolver a solução particular

# (4 + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Portanto, nossa solução particular é

#color (azul) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Deus abençoe … Espero que a explicação seja útil.

Responda:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #com #y> = - 13/4 #.

Explicação:

#y> = - 13/4 #, fazer #sqrt (4y + 13) # real..

Reorganizando, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Assim, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + c #

Usando #y = 3, quando x = -4, C = -13 / 2 #

Assim. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Inversamente. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #