Responda:
O centro estará em #(2, 7)# e o raio é #sqrt (24) #.
Explicação:
Este é um problema intrigante que requer várias aplicações do conhecimento matemático. A primeira delas é apenas determinar o que precisamos saber e como isso pode parecer.
Um círculo tem a equação generalizada:
# (x + a) ^ 2 + (y + b) ^ 2 = r ^ 2 #
Onde #uma# e # b # são as inversas das coordenadas do centro do círculo. # r #é claro, é o raio. Então, nosso objetivo será pegar a equação que recebemos e fazer com que ela tenha essa forma.
Olhando para a equação dada, parece que a nossa melhor aposta será fatorar os dois polinômios apresentados (aquele formado pela # x #s e aquele composto do # y #s). É óbvio, apenas olhando para os coeficientes das variáveis de primeiro grau, como isso irá acontecer:
# x ^ 2 -4x -> (x - 2) ^ 2 #
# y ^ 2 - 14y -> (y - 7) ^ 2 #
Já que esses são os únicos termos quadrados que nos dariam o coeficiente de primeiro grau apropriado. Mas tem um problema!
# (x - 2) ^ 2 = x ^ 2 - 4x + 4 #
# (y - 7) ^ 2 = y ^ 2 - 14a + 49 #
Mas tudo o que temos é o #29# na equação. Claramente, essas constantes foram adicionadas para formar um único número que não reflete o raio real. Nós podemos resolver para o número real, # c #, igual a:
# 4 + 49 + c = 29 #
# 53 + c = 29 #
#c = -24 #
Então, montando juntos, conseguimos:
# (x - 2) ^ 2 + (y - 7) ^ 2 - 24 = 0 #
o que realmente é justo:
# (x - 2) ^ 2 + (y - 7) ^ 2 = 24 #
Agora que temos um círculo de formulário padrão, podemos ver que o centro estará em #(2, 7)# e o raio é #sqrt (24) #.
