Como você integra isso? dx (x²-x + 1) Estou preso nesta parte (imagem carregada)

Responda:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Explicação:

Continuando…

Deixei # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Usando uma antiderivada, o que deve ser cometido na memória …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Essa é uma pequena integral complicada, e a solução não parecerá óbvia no início. Como essa é uma fração, podemos tentar considerar o uso da técnica de frações parciais, mas uma análise rápida revela que isso não é possível, uma vez que # x ^ 2-x + 1 # não é fatorável.

Vamos tentar obter essa integral para uma forma que possamos realmente integrar. Observe a semelhança entre # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # e # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; sabemos que a última integral avalia para # arctanx + C #. Vamos, portanto, tentar obter # x ^ 2-x + 1 # na forma #k (x-a) ^ 2 + 1 #e, em seguida, aplique o # arctanx # regra.

Vamos precisar completar o quadrado em # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(muito confuso, eu sei)

Agora que temos isso em nossa forma desejada, podemos proceder da seguinte forma:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #