Dois lados opostos de um paralelogramo têm comprimentos de 3. Se um canto do paralelogramo tem um ângulo de pi / 12 e a área do paralelogramo é 14, quanto tempo são os outros dois lados?

Responda:

Assumindo um pouco de trigonometria básica …

Explicação:

Seja x o comprimento (comum) de cada lado desconhecido.

Se b = 3 é a medida da base do paralelogramo, seja h sua altura vertical.

A área do paralelogramo é #bh = 14 #

Desde b é conhecido, temos #h = 14/3 #.

Do Trig básico, #sin (pi / 12) = h / x #.

Podemos encontrar o valor exato do seno usando uma fórmula de meio ângulo ou diferença.

#sina (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) #

# = (sqrt6 - sqrt2) / 4 #.

Assim…

# (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / x #

# x (sqrt6 - sqrt2) = 4h #

Substitua o valor de h:

# x (sqrt6 - sqrt2) = 4 (14/3) #

# x (sqrt6 - sqrt2) = 56/3 #

Divida pela expressão entre parênteses:

# x = 56 / (3 (sqrt6 - sqrt2)) #

Se precisarmos que a resposta seja racionalizada:

# x = 56 / (3 (sqrt6 - sqrt2)) * ((sqrt6 + sqrt2) / (sqrt6 + sqrt2)) #

# = 56 (sqrt6 + sqrt2) / (3 (4)) #

# = (14 (sqrt6 + sqrt2)) / (3) #

NOTA: Se você tiver a fórmula #A = ab sin (theta) #, você pode usá-lo para chegar à mesma resposta mais rapidamente.