Como você encontra o limite de [(sin x) * (sen ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] quando x se aproxima de 0?

Responda:

Execute alguma multiplicação conjugada e simplifique para obter #lim_ (x-> 0) (senx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Explicação:

A substituição direta produz uma forma indeterminada #0/0#, então vamos ter que tentar outra coisa.

Tente multiplicar # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # por # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Essa técnica é conhecida como multiplicação conjugada e funciona quase o tempo todo. A ideia é usar a diferença da propriedade squares # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # para simplificar o numerador ou o denominador (neste caso, o denominador).

Lembre-se de que # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #ou # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Podemos, portanto, substituir o denominador, que é # 1-cos ^ 2x #com # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Agora o # sin ^ 2x # cancela:

# ((sinx) (cancelar (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (cancelar (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Conclua tomando o limite desta expressão:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#