Pergunta # 6bd6c

Responda:

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Explicação:

#f (x) = x ^ 3-x # é uma função ímpar. Verifica #f (x) = -f (-x) #

assim # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Responda:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Pode ser a área, mas a função não mantém um sinal constante entre #x em -1,1 #. Além disso, por causa da simetria # x = 0 # que corta pela metade este intervalo, as áreas se anulam e nulificam a área.

Explicação:

Geometricamente, a integral de uma função de apenas uma variável é igual a uma área. No entanto, a geometria sugere que a função de menor valor é subtraída da função de maior valor para que a área não seja negativa. Mais especificamente, para duas funções #f (x) # e #g (x) # a área entre os dois gráficos em # a, b # é:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Ou seja, é preciso saber qual dos seguintes casos realmente é verdadeiro:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Agora, considerando sua função, encontre o sinal da diferença entre essas funções:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

Nós vemos que para a área dada de #-1,1# que o exercício lhe dá, o sinal realmente muda de positivo para negativo em # x = 0 #. Portanto, geometricamente, essa integral definida NÃO representa a área. A área atual é:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Como a área de 0 a 1 seria negativa, basta adicionar um sinal de menos para que ele some. Se você resolver as integrais:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

Observe que as duas integrais produzem o mesmo valor? Isso é por causa da simetria da função, que faz com que sua integral seja negativa.

Resumindo:

Sua integral é igual a:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

A área da função, se solicitada, seria:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Portanto, ele pode lembrar da área, mas a integral que você recebe NÃO representa a área (você poderia saber isso desde o início, já que uma área não pode ser 0). O único resultado geométrico que poderia ser obtido seria a simetria da função. Para eixo de simetria # x = 0 # os valores simétricos de # x # #-1# e #+1# rendem áreas iguais, então a função é provavelmente simétrica. Representar graficamente as duas funções na mesma folha, você pode ver é realmente simétrico: