Diferencie e simplifique por favor ajude?

Responda:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Explicação:

Expressar # x ^ tanx # como poder de e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Usando a regra da cadeia, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # Onde # u = lnxtanx # e # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Expressar # e ^ (lnxtanx) # como uma potência de x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Use a regra do produto, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, Onde # u = lnx # e # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanino) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanino #

O derivado de # tanx # é # seg ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

O derivado de # lnx # é # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Responda:

# dy / dx = (seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Explicação:

Usaremos diferenciação logarítmica - isto é, tomaremos o registro natural de ambos os lados e nos diferenciaremos implicitamente. # x #

Dado: # y = x ^ tan (x) #

Pegue o log natural (# ln #) de ambos os lados:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Aplicando a regra de poder do log natural #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Diferencie ambos os lados implicitamente # x #

# 1 / y * dy / dx = cor (azul) (seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Veja o trabalho abaixo)

Para diferenciar o RHS, precisaremos usar a regra do produto!

Nós temos # d / dx tan (x) * ln (x) #

Deixei #f (x) = tan (x) # e #g (x) = ln (x) #

Portanto, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # e #g '(x) = 1 / x #

Pela regra do produto: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Substituindo nós recebemos:

# d / dx tan (x) * ln (x) = seg ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Simplificando …

# d / dx tan (x) * ln (x) = seg ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Voltando ao que tínhamos antes:

# 1 / y * dy / dx = seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Nós queremos isolar # dy / dx # então nós multiplicamos ambos os lados por # y #

#cancelcolor (vermelho) y * 1 / cancelado * dy / dx = (seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * cor (vermelho) y #

# dy / dx = (seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * cor (vermelho) y #

Queremos escrever tudo em termos de # x # mas nós temos isso #color (vermelho) y # no caminho. Você pode lembrar que #color (vermelho) y # nos é dado no começo. #color (vermelho) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (seg ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #