O que é uma função contínua por partes? + Exemplo

Responda:

Uma função contínua por partes é uma função contínua, exceto em um número finito de pontos em seu domínio.

Explicação:

Observe que os pontos de descontinuidade de uma função contínua por partes não precisam ser descontinuidades removíveis. Isto é, não exigimos que a função possa ser feita contínua, redefinindo-a nesses pontos. É suficiente que, se excluirmos esses pontos do domínio, a função seja contínua no domínio restrito.

Por exemplo, considere a função:

#s (x) = {(-1, "se x <0"), (0, "se x = 0"), (1, "se x> 0"):} #

gráfico {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0,001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Isso é contínuo para todos #x em RR # exceto #x = 0 #

A descontinuidade em # x = 0 # não é removível. Nós não podemos redefinir #s (x) # nesse ponto e obter uma função contínua.

No # x = 0 # o gráfico da função 'pula'. Mais formalmente, na linguagem dos limites encontramos:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Assim, o limite esquerdo e o limite direito discordam um do outro e com o valor da função em # x = 0 #.

Se excluirmos o conjunto finito de descontinuidades do domínio, a função restrita a esse novo domínio será contínua.

Em nosso exemplo, a definição de #s (x) # como uma função de # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # é contínuo.

Se nós gráfico #s (x) # restrito a este domínio, ainda parece que é descontínuo em #0#, mas #0# não faz parte do domínio, então o 'salto' é irrelevante. A qualquer momento, arbitrariamente perto de #0#, podemos escolher um pequeno intervalo aberto em torno do qual a função é (constante e portanto) contínua.

Ligeiramente confuso, a função #tan (x) # é considerado contínuo - em vez de contínuo por partes, porque as assíntotas em #x = pi / 2 + n pi # são excluídos do domínio.

gráfico {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Enquanto isso, a função sawtooth #f (x) = x - floor (x) # não é considerado contínuo por partes como uma função de # RR # para # RR #, mas é contínua por partes em qualquer intervalo aberto finito.

gráfico {3/5 (abs (sen (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sen (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}