Qual é o limite lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x? + Exemplo

#lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0 #. Nós determinamos isso utilizando a Regra de L'hospital.

Parafraseando, a regra de L'Hospital afirma que, quando dado um limite da forma #lim_ (x a) f (x) / g (x) #, Onde #f (a) # e #g (a) # são valores que fazem com que o limite seja indeterminado (na maioria das vezes, se ambos forem 0, ou alguma forma de), então, contanto que ambas as funções sejam contínuas e diferenciáveis em e nas proximidades de #uma,# pode-se afirmar que

#lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) #

Ou, em palavras, o limite do quociente de duas funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

No exemplo fornecido, temos #f (x) = cos (x) -1 # e #g (x) = x #. Essas funções são contínuas e diferenciáveis perto # x = 0, cos (0) -1 = 0 e (0) = 0 #. Assim, nossa inicial #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Portanto, devemos fazer uso da Regra de L'Hospital. # d / dx (cos (x) -1) = - sin (x), d / dx x = 1 #. Portanto…

#lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = lim_ (x-> 0) (- sen (x)) / 1 = -sin (0) / 1 = -0/1 = 0 #