Dado
# S_n = n ^ 2 + 20n + 12, #
# "where" n = + ve "integer" #
A expressão dada pode ser organizada de maneiras diferentes associadas a um quadrado perfeito de números inteiros. Somente 12 arranjos foram mostrados.
# S_n = (n + 1) ^ 2 + 18n + 11 ……… 1 #
# S_n = (n + 2) ^ 2 + 16n + 8 ………. 2 #
# S_n = (n + 3) ^ 2 + 14n + 3 ………. 3 #
# S_n = (n + 4) ^ 2 + 12n-4 ………. 4 #
# S_n = (n + 5) ^ 2 + 10n-13 ……… 5 #
# S_n = (n + 6) ^ 2 + cor (vermelho) (8 (n-3) ……… 6) #
# S_n = (n + 7) ^ 2 + 6n-37 ………. 7 #
# S_n = (n + 8) ^ 2 + cor (vermelho) (4 (n-13) ……… 8) #
# S_n = (n + 9) ^ 2 + 2n-69 ………. 9 #
# S_n = (n + 10) ^ 2-88 ………….. 10 #
# S_n = (n + 11) ^ 2-2n-109 ……… 11 #
# S_n = (n + 12) ^ 2-4 (n + 33) ……… 12 #
Na inspeção de 10 relações acima, vemos que # S_n # será quadrado perfeito em dois casos, isto é, 6 e 8, quando n = 3 e n = 13, respectivamente.
Então a soma de todos os valores possíveis de n para os quais # S_n # é um quadrado perfeito = (3 + 13) = 16.
# S_n # pode ser um quadrado perfeito que não estes dois para valor negativo de n. Caso 12 onde # n = -33 # é um desses exemplos.
