Por favor, resolva isso? qual opção está correta?

Isso é prontamente visto como não factível por meios elementares, então resolvi numericamente e obtive:

Eu avaliei a integral para #n = 1, 1,5, 2,.. 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Até então, estava claramente alcançando #0.5#.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

ou

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Agora, assumindo que uma das respostas é verdadeira, a mais natural parece ser a quarta 4)

NOTA

para #x em 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Responda:

#1/2#

Explicação:

Como já foi mostrado em uma solução anterior, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

existe e é limitado:

# 1/2 le I_n <1 #

Agora a integração por partes produz

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n vezes (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Agora, desde # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # em #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Desde a #lim_ (n para oo) I_n # existe, nós temos

#lim_ (n para oo) J_n = lim_ (n para oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n para oo) 2 / (n + 2) vezes lim_ (n para oo) I_ (n + 2) = 0 #

Conseqüentemente

# lim_ (n para oo) I_n = 1/2 #