Resolva a questão 39?

Responda:

B

Explicação:

Primeiro, devemos fazer uso do fato de que os números devem ser consecutivos, chamando os números que escolhemos para ser # n-1, n, n + 1 #, se nós respeitarmos as restrições # n # deve estar entre #-9# e #9# inclusive.

Em segundo lugar, observe que, se conseguirmos um certo valor para um determinado #abc#, podemos trocar em torno desses valores específicos, mas ainda assim obter o mesmo resultado. (Eu acredito que isso é chamado de permutável, mas esqueça o termo apropriado)

Então podemos simplesmente deixar # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, agora ligamos isso em:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Agora nosso problema se torna ver por quais valores de # -9 <= n <= 9 # a expressão fornece valores inteiros, quantos valores diferentes obtemos.

Vou continuar a solução em uma resposta separada apenas para facilitar a leitura.

Responda:

Parte 2 do meu sol. Isso será usando aritmética modular, mas se você não estiver familiarizado com ele, então há sempre a opção de subbing em todos os valores necessários de # n #

Explicação:

Como a expressão deve ser um valor inteiro, a parte inferior deve dividir exatamente o topo. Assim, o numerador deve ter um fator de 3. E para isso devemos usar a aritmética modular.

Examine para que n satisfaz: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Agora casework:

1. Nós tentamos # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #que não funciona

2. Nós tentamos # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, que funciona

3. Nós tentamos # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#que não funciona

Então, deduzimos isso # n # deve ser da forma # 3k + 1 #, ou mais do que um múltiplo de 3. Considerando o nosso intervalo para n, sendo # -9 <= n <= 9 #, temos os valores possíveis de:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Neste ponto, você pode usar o fato de que # n = 3k + 1 #, mas com apenas 6 valores para verificar, decidi, em vez disso, calcular cada um deles, e o único valor para # n # isso funciona é # n = 1 #, produzindo o resultado de #1#.

Então, finalmente, o único conjunto de números consecutivos que produz um resultado inteiro é #0,1,2#dando #1# daí a resposta é # B #