Seja V = R e W = {(x, y, z) x + y + z = 0} seja um subespaço de V. Qual dos seguintes pares de vetores está no mesmo coset de W em V? (i) (1,3,2) e (2,2,2), (ii) (1,1,1) e (3,3,3).

Responda:

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# mbox {i)} (1,3,2) mbox {e} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {pertencem ao mesmo coset de} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {e} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {não pertence ao mesmo coset de} W. #

Explicação:

# #

# mbox {1) Note que, pelo dado em} W, mbox {nós podemos descrever} mbox {os elementos de} W mbox {como aqueles vetores de} V mbox {em que}} mbox {soma das coordenadas é} 0. #

# #

# mbox {2} Agora lembre-se disso:} #

# mbox {dois vetores pertencem ao mesmo coset de qualquer subespaço} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {sua diferença pertence ao próprio subespaço}. #

# #

# mbox {3) Assim, para determinar a associação no mesmo coset de} W, mbox {é necessário e suficiente para determinar se} mbox {a diferença desses vetores pertence a} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} em mbox {mesmo coset de} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} em W #

# #

# mbox {Por isso, pela descrição de} W mbox {em (1) acima, temos:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} em mbox {mesmo conjunto de} W quad iff quad mbox {a soma das coordenadas de} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {É uma questão deste cálculo simples.} #

# #

# 4) mbox {Prosseguindo com os dois pares de vetores e} mbox {realizando este cálculo em cada par, encontramos:

# quad mbox {i}} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {e assim} #

# qquad qquad mbox {a soma das coordenadas de} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Daqui:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {e} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {pertence ao mesmo coset de} W. #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {e assim} #

# qquad qquad mbox {a soma das coordenadas de} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Daqui:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {e} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {não pertence ao mesmo coset de} W. #