Qual é a integral do sqrt (9-x ^ 2)?

Sempre que vejo esse tipo de função, reconheço (praticando muito) que você deve usar uma substituição especial aqui:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Isso pode parecer uma substituição estranha, mas você vai ver porque estamos fazendo isso.

#dx = 3cos (u) du #

Substitua everyhting na integral:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Podemos trazer os 3 da integral:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * porque (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * porque (u) du #

Você pode fatorar o 9 fora:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * porque (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-pecado ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Nós sabemos a identidade: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Se nós resolvermos # cosx #, Nós temos:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Isso é exatamente o que vemos na integral, então podemos substituí-lo:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Você pode conhecer essa como uma antiderivada básica, mas se não souber, você pode descobrir isso da seguinte forma:

Nós usamos a identidade: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (você pode resolver isso por substituição)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Agora, tudo o que temos a fazer é colocar #você# na função. Vamos rever como definimos:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Para obter #você# fora disso, você precisa assumir a função inversa de #pecado# em ambos os lados, isso é # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Agora precisamos inseri-lo em nossa solução:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Esta é a solução final.