Qual é a opção correta da questão dada? ps - eu tenho 98 como uma resposta, mas não está correto (idk talvez a resposta dada na parte de trás está errado, vc também pode ver e verificar novamente a minha solução, eu anexei a solução abaixo da pergunta)

Responda:

#98# é a resposta correta.

Explicação:

Dado:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Dividindo por #4# nós achamos:

# x ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gama) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gama) x ^ 2 + (alfa + betagama + gammaalfa) x ~ alfabetoagame #

Assim:

# {(alfa + beta + gama = 7/4), (alfa + betagama + gammaalfa = 0), (alfabetagrama = -1/4):} #

Assim:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (branco) (49/16) = (alfa + beta + gama) ^ 2-2 (alfa + betagama + gammaalfa) #

#color (branco) (49/16) = alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

e:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (branco) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + beta + gama) #

#color (branco) (7/8) = alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2game ^ 2 + gama ^ 2alfa ^ 2 #

Assim:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (branco) (49/128) = (alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2game ^ 2 + gama ^ 2alfa ^ 2) ^ 2-2 (alfabetagrama) ^ 2 (alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gama ^ 2) #

#color (branco) (49/128) = alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gama ^ 4alfa ^ 4 #

Assim:

#alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gama ^ (- 4) = (alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gama ^ 4alfa ^ 4) / (alfabetoagrama) ^ 4 #

#color (branco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gama ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (branco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gama ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (branco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gama ^ (- 4)) = 98 #

Responda:

#98#

Explicação:

Alternativamente, como uma verificação extra, observe que as raízes de:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

são os recíprocos das raízes de:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Então podemos encontrar # alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # para as raízes deste cúbico, a fim de calcular #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gama ^ (- 4) # para as raízes do cúbico original.

Dado:

# x ^ 3 + 0x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gama) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gama) x ^ 2 + (alfa + betagama + gammaalfa) x ~ alfabetoagame #

Nós achamos:

# {(alfa + beta + gama = 0), (alfa + betagama + gammaalfa = -7), (alfabeticamente = 4):} #

Assim:

# alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

# = (alfa + beta + gama) ^ 2-2 (alfa + betagama + gammaalfa) = 0-2 (-7) = 14 #

# alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gama ^ 2alfa ^ 2 #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + beta + gama) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gama ^ 2) ^ 2-2 (alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gama ^ 2 + gama ^ 2alfa ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #