Responda:
A curva de intersecção pode ser parametrizada como # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Explicação:
Não tenho certeza do que você quer dizer com função vetorial. Mas eu entendo que você procura representar a curva de intersecção entre as duas superfícies na declaração da questão.
Como o cilindro é simétrico em torno do # z # eixo, pode ser mais fácil expressar a curva em coordenadas cilíndricas.
Mude para coordenadas cilíndricas:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# r # é a distância do # z # eixo e # theta # é o ângulo no sentido anti-horário a partir do # x # eixo no # x, y # avião.
Então a primeira superfície se torna
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, por causa da identidade trigonométrica de Pitágoras.
A segunda superfície se torna
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Aprendemos com a equação da primeira superfície que a curva de interseção deve estar a uma distância quadrada # r ^ 2 = 81 # da primeira superfície, dando isso
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, uma curva parametrizada por # theta #. O último passo é uma identidade trigonométrica e é feito apenas de preferência pessoal.
A partir dessa expressão, vemos que a curva é de fato uma curva, pois tem um grau de liberdade.
Todos, ao todo, podemos escrever a curva como
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, que é uma função vetorial de valor de uma única variável # theta #.
Responda:
Ver abaixo.
Explicação:
Considerando a intersecção de
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z em RR):} #
com
# C_2-> z = x y #
ou # C_1 nn C_2 #
temos
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
agora resolvendo para # x ^ 2, y ^ 2 # obtemos as curvas paramétricas
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # ou
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2) -4 z ^ 2)))):} #
que são reais para
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Anexado um gráfico mostrando a curva de interseção em vermelho (uma folha).
