Quais são os extremos absolutos de f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x em [0, pi / 4]?

Responda:

max absoluto: # (pi / 4, pi / 4) #

min absoluto: #(0, 0)#

Explicação:

Dado: #f (x) = 2x sen ^ 2x + x cos2x em 0, pi / 4 #

Encontre a primeira derivada usando a regra do produto duas vezes.

Regra do produto: # (uv) '= uv' + v u '#

Deixei #u = 2x; "" u '= 2 #

Deixei #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sen x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Para a segunda metade da equação:

Deixei #u = x; "" u '= 1 #

Deixei #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sen x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Simplificar:

#f '(x) = cancelar (2x sen (2x)) + 2sin ^ 2x cancelar (-2x sen (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

A identidade pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Isso significa que não há valores críticos quando #f '(x) = 0 #

Máximo e mínimo absolutos seriam encontrados nos pontos finais do intervalo de funções.

Teste os pontos finais da função:

#f (0) = 0; "Mínimo absoluto:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Máximo absoluto:" (pi / 4, pi / 4) #