(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Vamos fazer isso ???

Responda:

#a = 1, b = 1 #

Explicação:

Resolvendo a maneira tradicional

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Agora resolvendo por #uma#

#a = 1/2 (1 + bpm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # mas #uma# deve ser real, então a condição é

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # ou # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

agora substituindo e resolvendo #uma#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # e a solução é

#a = 1, b = 1 #

Outra maneira de fazer o mesmo

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

mas

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

e concluindo

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Responda:

D. Existe exatamente um par de soluções # (a, b) = (1, 1) #

Explicação:

Dado:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Note que podemos transformar isso em um bom problema homogêneo simétrico generalizando para:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

então defina # c = 1 # no fim.

Expandindo ambos os lados deste problema generalizado, temos:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Subtraindo o lado esquerdo de ambos os lados, obtemos:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (branco) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (branco) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Para valores reais de #uma#, # b # e # c #isso só pode acontecer se todos # (a-b) #, # (b-c) # e # (c-a) # são zero e, portanto:

#a = b = c #

Então colocando # c = 1 # encontramos a única solução para o problema original, # (a, b) = (1, 1) #