Como você encontra uma função quadrática f (x) = ax² + bx + c dado o valor mínimo -4 quando x = 3; um zero é 6?

Responda:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

As funções quadráticas são simétricas em relação à sua linha de vértice, ou seja, em x = 3, o que implica que o outro zero estará em x = 0.

Sabemos que o vértice ocorre em x = 3, então a primeira derivada da função avaliada em x = 3 será zero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Também sabemos o valor da função em x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Nós temos duas equações, mas três incógnitas, então precisaremos de outra equação. Olhe o zero conhecido:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Nós temos um sistema de equações agora:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Para ler as soluções, queremos reduzir nossa matriz de coeficientes para reduzir o escalão usando operações de linha elementares.

Multiplique a primeira linha por #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Adicionar #-9# vezes a primeira linha para a segunda linha:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Adicionar #-36# vezes a primeira linha até a terceira:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Multiplique a segunda linha por #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Adicionar #-2/3# vezes a terceira linha para a segunda linha:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Adicionar #-1/6# vezes o segundo para o primeiro

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Fazer esta série de operações para o vetor de solução fornece:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Então, lendo as soluções que temos # a = 4/9 e b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

gráfico {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}