Qual é a raiz cúbica de (sqrt3 -i)?

Eu começaria convertendo o número em forma trigonométrica:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

A raiz cúbica desse número pode ser escrita como:

# z ^ (1/3) #

Agora, com isso em mente, uso a fórmula para a enésima potência de um número complexo em forma trigonométrica:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # dando:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Qual no retangular é: # 4.2-0.7i #

Não posso concordar completamente com a resposta de Gió, porque é incompleta e também (formalmente) errada.

O erro formal está no uso de Fórmula de De Moivre com expoentes não inteiros. A fórmula de De Moivre pode ser aplicada apenas a expoentes inteiros. Mais detalhes sobre isso na página da Wikipedia

Lá você encontrará uma extensão parcial da fórmula, para lidar com # n #-th roots (envolve um parâmetro extra #k #): E se # z = r (cos teta + i sin teta) #, então

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((teta + 2 k pi) / n) + i sin ((teta + 2 k pi) / n)) # Onde # k = 0, …, n-1 #.

Um (e em algum sentido a) propriedade fundamental dos números complexos é que # n #raízes tem … # n # raízes (soluções)! O parâmetro #k # (que varia entre #0# e # n-1 #, assim # n # valores) nos permite resumi-los em uma única fórmula.

Então, as raízes cúbicas têm três soluções e encontrar apenas uma delas não é suficiente: é apenas "#1/3# da solução ".

Vou escrever minha proposta de solução abaixo. Comentários são bem vindos!

Como Gió sugeriu corretamente, o primeiro passo é expressar # z = sqrt {3} -i # em sua forma trigonométrica #r (cos theta + i sin theta) #. Ao lidar com raízes, a forma trigonométrica é (quase) sempre uma ferramenta útil (juntamente com a exponencial). Você recebe:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

assim # z = r (cos teta + i sin teta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Agora você quer calcular as raízes. Pela fórmula relatada acima, obtemos:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((teta + 2 k pi) / 3) + i sin ((teta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2k pi) / 3)) #

Onde # k = 0, 1, 2 #. Então, existem três valores diferentes de #k # (#0#, #1# e #2#) que dão origem a três diferentes raízes complexas de # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sen ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sen ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # e # z_2 # são as três soluções.

A interpretação geométrica da fórmula para o # n # raízes é muito útil para desenhar as soluções no plano complexo. Também o enredo aponta muito bem as propriedades da fórmula.

Primeiro de tudo, podemos notar que todas as soluções têm a mesma distância # r ^ {1 / n} # (no nosso exemplo #2^{1/3}#) a partir da origem. Então todos eles estão em uma circunferência de raio # r ^ {1 / n} #. Agora temos que apontar Onde para colocá-los nessa circunferência. Podemos reescrever os argumentos seno e cosseno da seguinte maneira:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / nk) + i sin (teta / n + (2pi) / nk)) #

A "primeira" raiz corresponde a # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (teta / n) + i sin (teta / n)) #

Todas as outras raízes podem ser obtidas adicionando o ângulo # (2pi) / n # recursivamente para o ângulo # theta / n # em relação à primeira raiz # z_0 #. Então estamos nos movendo # z_0 # na circunferência por uma rotação de # (2pi) / n # radianos (# (360 °) / n #). Então os pontos estão localizados nos vértices de um # n #-gon. Dado um deles, podemos encontrar os outros.

No nosso caso:

onde o ângulo azul é # theta / n = -pi / 18 # e o magenta é # (2pi) / n = 2/3 pi #.