Uma cadeia linear é composta por 20 elos idênticos. Cada link pode ser feito em 7 cores diferentes. Quantas cadeias fisicamente diferentes existem?

Uma cadeia linear é composta por 20 elos idênticos. Cada link pode ser feito em 7 cores diferentes. Quantas cadeias fisicamente diferentes existem?
Anonim

Para cada um dos 20 links, existem 7 opções, cada vez que a escolha é independente das escolhas anteriores, para que possamos levar o produto.

Número total de escolhas = #7*7*7…*7 = = 7^(20)#

Mas como a cadeia pode ser revertida, precisamos contar seqüências distintas.

Primeiro, contamos o número de sequências simétricas: isto é, os últimos 10 links tomam a imagem espelhada dos primeiros 10 links.

Número de sequências simétricas = número de maneiras, então selecione primeiro 10 links = #7^(10)#

Exceto por essas seqüências simétricas, as seqüências não simétricas podem ser revertidas para produzir uma nova cadeia. Isso significa que apenas metade das seqüências não simétricas são únicas.

Número de sequências únicas = (Número de não simétricas) / 2 + Número de sequências simétricas

#= (7^20 - 7^10)/2 + 7^10 = 39896133290043625#