Use a) eb) para provar hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

De tudo o que você está dizendo, tudo o que parece que devemos fazer é mostrar que #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Parece que qualquer lugar que você tem essa pergunta é confuso sobre a definição de # hatT_L #.

Vamos acabar provando que usando

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

dá

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

e não #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Se queremos que tudo seja consistente, então se #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, teria que ser isso # hatD, hatx = bb (-1) #. Eu consertei a pergunta e resolvi isso já.

Da parte 1, mostramos que, para essa definição (que #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Desde a #f (x_0 - L) # é um auto-estado de # hatT_L #, a forma imediata que vem à mente é um operador exponencial # e ^ (LhatD) #. Nós intuímos isso #hatD = + ihatp_x // ℏ #e vamos mostrar que isso é verdade.

Lembre-se de que, na prova mostrada na parte 1, escrevemos:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

e é aí que teríamos que usá-lo. Tudo o que temos a fazer é Taylor expandir operador exponencial e mostre que a prova acima ainda é válida.

Isso também é mostrado em detalhes de luz aqui. Eu o expandi para ser mais completo …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Dê isso #EU# é uma constante, podemos fatorar isso fora do comutador. # hatx # pode entrar, não sendo dependente do índice. Assim sendo:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Agora, nós propusemos que #hatD = ihatp_x // ℏ #e isso faria sentido porque sabemos que:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + id / (dx) (xf (x)) #

# = cancelar (-iℏx (df) / (dx) + ix (df) / (dx)) + iℏf (x) #

de modo a # hatx, hatp_x = eu #. Isso significaria que, enquanto #hatT_L = e ^ (LhatD) #, podemos finalmente obter uma definição consistente em ambas as partes do problema e obter:

#color (azul) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = cor (azul) (1) #

A partir disso, expandimos ainda mais o comutador:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Agora sabemos # hatx, hatp_x #mas não necessariamente # hatx, hatp_x ^ n #. Você pode se convencer de que

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

e essa

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

de modo a:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ nd ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {cancelar (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - cancelar (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Nós reconhecemos que # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Portanto,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, forneceu #n> = 1 #.

A partir disso, encontramos:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

onde, se você avaliar o #n = 0 # prazo, você deve ver que ele vai para zero, então omitimos. Continuando, nós temos:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Aqui estamos simplesmente tentando fazer com que isso pareça a função exponencial novamente.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(termos do grupo)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(avalie o exterior)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(E se # n # começa em zero, o # (n-1) #o termo se torna o # n #termo.)

Como resultado, finalmente conseguimos:

# => cor (azul) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = cor (azul) (- LhatT_L) #

E voltamos novamente ao comutador original, isto é, que

# hatx, hatT_L = -LhatT_L cor (azul) (sqrt "") #

Por fim, vamos mostrar que # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Escrevendo isso explicitamente, podemos ver isso funcionar:

# = cor (azul) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = cor (azul) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

e desde # hatD # sempre viaja consigo mesmo # hatD ^ n, hatD = 0 # e portanto,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (azul) (sqrt "") #