Por que a raiz quadrada de 5 é um número irracional?

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Veja a explicação …

Explicação:

Aqui está um esboço de uma prova por contradição:

Supor #sqrt (5) = p / q # para alguns inteiros positivos # p # e # q #.

Sem perda de generalidade, podemos supor que #p, q # são os menores desses números.

Então, por definição:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplique as duas extremidades por # q ^ 2 # para obter:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

assim # p ^ 2 # é divisível por #5#.

Então desde #5# é primo # p # deve ser divisível por #5# também.

assim #p = 5m # para algum inteiro positivo # m #.

Então nós temos:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Divida ambos os lados por #5# para obter:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Divida ambos os lados por # m ^ 2 # para obter:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

assim #sqrt (5) = q / m #

Agora #p> q> m #, assim #q, m # é um par menor de inteiros cujo quociente é #sqrt (5) #contradizendo nossa hipótese.

Então nossa hipótese de que #sqrt (5) # pode ser representado por # p / q # para alguns inteiros # p # e # q # é falso. Isso é, #sqrt (5) # não é racional. Isso é, #sqrt (5) # é irracional.