Qual é a solução geral da equação diferencial y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "A equação característica é:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disco do quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "então temos duas soluções complexas, elas são" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Então a solução geral da equação homogênea é:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) ix) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sen (sqrt (15) x / 2) #

# "A solução particular para a equação completa é" #

# "y = x" #

# "Isso é fácil de ver." #

# "Então a solução completa é:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sen (sqrt (15) x / 2) #

Responda:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Explicação:

Nós temos:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Ou alternativamente:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. UMA

Isto é um terceiro ordenar a equação de diferenciação não homogênea linear com coeficientes constantes. A abordagem padrão é encontrar uma solução, # y_c # da equação homogênea olhando para a Equação Auxiliar, que é a equação polinomial com os coeficientes das derivadas, e então encontrando uma solução particular independente, # y_p # da equação não homogênea.

As raízes da equação auxiliar determinam partes da solução, que se linearmente independentes, então a superposição das soluções formam a solução geral completa.

• Raízes distintas reais # m = alfa, beta, … # produzirá soluções linearmente independentes da forma # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Raízes reais repetidas # m = alfa #, produzirá uma solução da forma # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # onde o polinômio tem o mesmo grau da repetição.
• Raízes complexas (que devem ocorrer como pares conjugados) # m = p + -qi # produzirá pares de soluções linearmente independentes da forma # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Solução Particular

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # com #f (x) = 4 # ….. C

então como #f (x) # é um polinômio de grau #0#, nós procuramos uma solução polinomial do mesmo grau, ou seja, da forma #y = a #

No entanto, essa solução já existe na solução CF e, portanto, deve considerar uma solução potencial da forma # y = ax #Onde as constantes #uma# deve ser determinado por substituição direta e comparação:

Diferenciando # y = ax # wrt # x # Nós temos:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Substituindo estes resultados no DE A obtemos:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

E assim formamos a solução Particular:

# y_p = x #

Solução Geral

Que então leva ao GS de A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Note que esta solução tem #3# constantes de integração e #3# soluções linearmente independentes, portanto, pelo Teorema da Existência e Unicidade, sua superposição é a Solução Geral.