Qual é a raiz quadrada de -50 vezes a raiz quadrada de -10?

Responda:

#sqrt (-50) * sqrt (-10) = -10sqrt (5) #

Explicação:

Isso é um pouco complicado, já que #sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) # só é geralmente verdade para #a, b> = 0 #.

Se você pensasse que ele também continha números negativos, você teria "provas" espúrias como:

# 1 = sqrt (1) = sqrt (-1 * -1) = sqrt (-1) sqrt (-1) = -1 #

Em vez disso, use a definição da raiz quadrada principal de um número negativo:

#sqrt (-n) = i sqrt (n) # para #n> = 0 #, Onde #Eu# é 'a' raiz quadrada de #-1#.

Eu me sinto um pouco desconfortável mesmo quando escrevo isso: há duas raízes quadradas de #-1#. Se você ligar para um deles #Eu# então o outro é #-Eu#. Eles não são distinguíveis como positivos ou negativos. Quando introduzimos números complexos, basicamente escolhemos um e chamamos #Eu#.

Enfim - de volta ao nosso problema:

#sqrt (-50) * sqrt (-10) = i sqrt (50) * i sqrt (10) = i ^ 2 * sqrt (50) sqrt (10) #

# = -1 * sqrt (50 * 10) = -sqrt (10 ^ 2 * 5) = -sqrt (10 ^ 2) sqrt (5) #

# = -10sqrt (5) #