A água está vazando de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3 / min ao mesmo tempo em que a água é bombeada para o tanque a uma taxa constante Se o tanque tiver uma altura de 6m e o diâmetro na parte superior é de 4m se o nível da água estiver subindo a uma velocidade de 20 cm / min quando a altura da água é de 2m, como você encontra a taxa na qual a água está sendo bombeada para o tanque?

Deixei # V # ser o volume de água no tanque, em # cm ^ 3 #; deixei # h # seja a profundidade / altura da água, em cm; e deixar # r # seja o raio da superfície da água (em cima), em cm. Como o tanque é um cone invertido, o mesmo acontece com a massa de água. Como o tanque tem uma altura de 6 me um raio no topo de 2 m, triângulos semelhantes implicam que # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # de modo a # h = 3r #.

O volume do cone de água invertido é então # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Agora diferencie ambos os lados em relação ao tempo # t # (em minutos) para obter # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (a regra da cadeia é usada nesta etapa).

E se #V_ {i} # é o volume de água que foi bombeado, então # frac {dv} {dt} = frac {dv_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (quando a altura / profundidade da água é de 2 metros, o raio da água é # frac {200} {3} # cm).

Assim sendo # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 aproximadamente 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.