Três inteiros ímpares consecutivos são tais que o quadrado do terceiro inteiro é 345 menor que a soma dos quadrados dos dois primeiros. Como você encontra os inteiros?

Responda:

Existem duas soluções:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

Explicação:

Se o menor número inteiro é # n #, então os outros são # n + 2 # e # n + 4 #

Interpretando a pergunta, temos:

# (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345 #

que se expande para:

# n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 #

#color (branco) (n ^ 2 + 8n + 16) = 2n ^ 2 + 4n-341 #

Subtraindo # n ^ 2 + 8n + 16 # de ambas as extremidades, encontramos:

# 0 = n ^ 2-4n-357 #

#color (branco) (0) = n ^ 2-4n + 4-361 #

#color (branco) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 #

#color (branco) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) #

#color (branco) (0) = (n-21) (n + 17) #

Assim:

#n = 21 "" # ou # "" n = -17 #

e os três inteiros são:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

#cor branca)()#

Nota de rodapé

Note que eu disse menos inteiro para # n # e não menor.

Ao lidar com números inteiros negativos, esses termos diferem.

Por exemplo, o menos inteiro fora de #-17, -15, -13# é #-17#, mas o menor é #-13#.

A soma dos quadrados de dois inteiros negativos ímpares consecutivos é igual a 514. Como você encontra os dois inteiros?

-15 e -17 Dois números negativos ímpares: n e n + 2. A soma dos quadrados = 514: n ^ 2 + (n + 2) ^ 2 = 514 n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 = 514 2n ^ 2 + 4n -510 = 0 n = (- 4 + -sqrt (4 ^ 2-4 * 2 * (- 510))) / (2 * 2) n = (- 4 + -sqrt (16 + 4080)) / 4 n = (- 4 + -sqrt (4096)) / 4 n = (- 4 + -64) / 4 n = -68 / 4 = -17 (porque queremos um número negativo) n + 2 = -15

Três inteiros pares consecutivos são tais que o quadrado do terceiro é 76 a mais que o quadrado do segundo. Como você determina os três inteiros?

16, 18 e 20. Pode-se expressar os três números pares consecutivos como 2x, 2x + 2 e 2x + 4. Você recebe isso (2x + 4) ^ 2 = (2x + 2) ^ 2 +76. A expansão dos termos quadrados gera 4x ^ 2 + 16x + 16 = 4x ^ 2 + 8x + 4 + 76. Subtraindo 4x ^ 2 + 8x + 16 de ambos os lados da equação, obtém-se 8x = 64. Então, x = 8. Substituindo 8 por x em 2x, 2x + 2 e 2x + 4, dá 16,18 e 20.

Conhecendo a fórmula para a soma dos N inteiros a) qual é a soma dos primeiros N inteiros quadrados consecutivos, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Soma dos primeiros N inteiros do cubo consecutivos Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Para S_k (n) = soma_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Temos sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 resolvendo para sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni mas sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 então sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^