Como você encontra a antiderivada de (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Responda:

#arctan (e ^ x) + c #

Explicação:

# "write" e ^ x "dx as" d (e ^ x) ", então obtemos" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "com a substituição y =" e ^ x ", obtemos" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "que é igual a" #

#arctan (y) + C #

# "Agora substitua de volta" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + c #

Responda:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctano ^ x + "c" #

Explicação:

Nós queremos encontrar # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Agora deixe # u = e ^ x # e então pegar o diferencial de ambos os lados dá # du = e ^ xdx #. Agora nós substituímos essas duas equações na integral para obter

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Esta é uma integral padrão que avalia para # arctanu #. Substituindo de volta por # x # nós temos uma resposta final:

#arctan e ^ x + "c" #

Responda:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Explicação:

Primeiro, nós deixamos # u = 1 + e ^ (2x) #. Para integrar em relação a #você#dividimos pela derivada de #você#, qual é # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Para integrar em relação a #você#, precisamos de tudo expresso em termos de #você#, então precisamos resolver o que # e ^ x # é em termos de #você#:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Agora podemos conectar isso de volta na integral:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Em seguida, introduziremos uma substituição com # z = sqrt (u-1) #. A derivada é:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

então nós dividimos por ele para integrar em relação a # z # (lembre-se que dividir é o mesmo que multiplicar pelo recíproco):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Agora, mais uma vez, temos a variável errada, então precisamos resolver o que #você# é igual em termos de # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Isto dá:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Este é o derivado comum de # tan ^ -1 (z) #, então nós temos:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + c #

Desfazendo todas as substituições, obtemos:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #