Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 4, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

Responda:

# P_max = 28,31 # unidades

Explicação:

O problema dá dois dos três ângulos em um triângulo arbitrário. Como a soma dos ângulos em um triângulo deve somar 180 graus, ou # pi # radianos, podemos encontrar o terceiro ângulo:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Vamos desenhar o triângulo:

O problema afirma que um dos lados do triângulo tem um comprimento de 4, mas não especifica qual lado. No entanto, em qualquer triângulo dado, é verdade que o menor lado será o oposto do menor ângulo.

Se quisermos maximizar o perímetro, devemos fazer o lado com o comprimento 4 do lado oposto do menor ângulo. Como os outros dois lados serão maiores que 4, isso garante que maximizaremos o perímetro. Portanto, o triângulo se torna:

Finalmente, podemos usar o lei dos senos para encontrar o comprimento dos outros dois lados:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sen (c) / C #

Conectando, obtemos:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Resolvendo para xey nós temos:

# x = 10,93 # e # y = 13,38 #

Portanto, o perímetro máximo é:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Nota: Como o problema não especifica as unidades de comprimento no triângulo, basta usar "unidades".