Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual é a soma em x = 3?
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] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["é o intervalo de convergência para x" "x = 3 não está no intervalo de convergência então soma para x = 3 é" oo "Trate a soma como faria pode ser uma série geométrica substituindo "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Então temos" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "para" | z | <1 "Portanto, o intervalo de convergência é" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x
Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?
X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Nós podemos fazer isso sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n é uma série geométrica com relação r = 1 / (x (1-x)). Agora sabemos que as séries geométricas convergem quando o valor absoluto da razão é menor que 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Então devemos resolver essa desigualdade: 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 Vamos começar com o primeiro: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Podemos facilmente provar que o numerador é sempre p
Como determinar a convergência ou divergência da sequência an = ln (n ^ 2) / n?
A sequência converge Para descobrir se a sequência a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n converge, observamos o que a_n é como n-> oo. n lim (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Usando a regra de l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Como lim_ (n-> oo) a_n é um valor finito, a seqüência converge.