Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Responda:

#x em (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Explicação:

Nós podemos fazer isso #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # é uma série geométrica com relação # r = 1 / (x (1-x)) #.

Agora sabemos que as séries geométricas convergem quando o valor absoluto da proporção é menor que 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Então, devemos resolver essa desigualdade:

# 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 #

Vamos começar com o primeiro:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Podemos facilmente provar que o numerador é sempre positivo e o denominador é negativo no intervalo #x em (-oo, 0) U (1, oo) #.

Então esta é a solução para a nossa primeira desigualdade.

Vamos ver o segundo:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Esta desigualdade tem como solução o intervalo:

#x em (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Então nossa série converge onde isso para intervalos são ambos verdadeiros.

Assim nosso intervalo de convergência é:

#x em (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #