Existem 7 crianças em uma sala de aula. De quantas maneiras eles podem se alinhar para o recesso?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Este problema em particular é um permutação. Lembre-se, a diferença entre permutações e combinações é que, com permutações, a ordem é importante. Dado que a pergunta pergunta quantas maneiras os alunos podem se alinhar para o recesso (ou seja, quantas ordens diferentes), isso é uma permutação.

Imagine, por enquanto, que estivéssemos preenchendo apenas duas posições, a posição 1 e a posição 2. Para diferenciar nossos alunos, porque a ordem é importante, vamos atribuir a cada um uma letra de A a G. Agora, se preenchermos essas posições, de cada vez, temos sete opções para preencher a primeira posição: A, B, C, D, E, F e G. No entanto, uma vez que essa posição é preenchida, temos apenas seis opções para a segunda, porque uma das os alunos já foram posicionados.

Como exemplo, suponha que A esteja na posição 1. Então nossas possíveis ordens para nossas duas posições são AB (ou seja, A na posição 1 e B na posição 2), AC, AD, AE, AF, AG. No entanto … isso não conta para todos os possíveis pedidos aqui, pois há 7 opções para a primeira posição. Assim, se B estivesse na posição 1, teríamos como possibilidades BA, BC, BD, BE, BF e BG. Assim, multiplicamos nosso número de opções juntos: #7*6 = 42#

Olhando para o problema inicial, há 7 alunos que podem ser colocados na posição 1 (novamente, assumindo que preenchemos as posições de 1 a 7 em ordem). Uma vez preenchida a posição 1, 6 alunos podem ser colocados na posição 2. Com as posições 1 e 2 preenchidas, 5 podem ser colocadas na posição 3, etc, até que apenas um aluno possa ser colocado na última posição. Assim, multiplicando o nosso número de opções, obtemos #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Para uma fórmula mais geral para encontrar o número de permutações de # n # objetos tomados # r # de uma vez, Sem substituição (ou seja, o aluno na posição 1 não retorna à área de espera e se torna uma opção para a posição 2), tendemos a usar a fórmula:

Número de permutações = # "n!" / "(n-r)!" #.

com # n # o número de objetos, # r # o número de posições a serem preenchidas e #!# o símbolo para o fatorial, uma operação que age em um inteiro não negativo #uma# de tal modo que #uma!# = #atimes (a-1) vezes (a-2) vezes (a-3) vezes … vezes (1) #

Assim, usando a nossa fórmula com o problema original, onde temos 7 alunos, 7 de cada vez (por exemplo, queremos preencher 7 posições), temos

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Pode parecer contra-intuitivo #0! = 1#; no entanto, este é realmente o caso.