Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Responda:

Esta função tem sem pontos estacionários (Você está certo disto #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # é o que você queria estudar ?!).

Explicação:

De acordo com a definição mais difundida de pontos de sela (pontos estacionários que não são extrema), você está procurando os pontos estacionários da função em seu domínio # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) em RR ^ 2} #.

Podemos agora reescrever a expressão dada para # f # Da seguinte maneira: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #

A maneira de identificá-los é procurar os pontos que anulam o gradiente de # f #, que é o vetor das derivadas parciais:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Como o domínio é um conjunto aberto, não precisamos procurar extremos permanecendo no limite, porque conjuntos abertos não contêm pontos de limite.

Então, vamos calcular o gradiente da função:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Isso é nulo quando as seguintes equações são satisfeitas simultaneamente:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

Nós podemos transformar o segundo em # y = 1 / (2x ^ 3) # e substituí-lo no primeiro a chegar

# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Isso não pode ser satisfeito #x em RR #, então o gradiente nunca é nulo no domínio. Isso significa que a função não possui pontos estacionários!