Teste f para concavidade?

Responda:

# f # é convexo em # RR #

Explicação:

Resolvi isso eu acho.

# f # é 2 vezes diferenciável em # RR # assim # f # e # f '# são contínuos em # RR #

Nós temos # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Diferenciando ambas as partes, obtemos

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # assim #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Precisamos do sinal do numerador então consideramos uma nova função

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##em## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Nós percebemos que #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Para # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Para # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Nós finalmente conseguimos esta tabela que mostra a monotonia de # g #

Suposto # I_1 = (- oo, 0 # e # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

Porque

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Usando o teorema do espremer / sanduíche nós temos

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Assim sendo, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-senx + 3x ^ 2 + 2) #

Com o mesmo processo, acabamos

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Contudo, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Assim sendo, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

O alcance de # g # será:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # assim # g # não tem raízes em # RR #

  # g # é contínuo em # RR # e não tem soluções. Assim sendo, # g # preserva o login # RR #

Que significa

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Portanto, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Como um resultado #g (x)> 0 #, # x ##em## RR #

E #f '' (x)> 0 #, # x ##em## RR #

#-># # f # é convexo em # RR #

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Dado #y = f (x) # o raio de curvatura da curva é dado por

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # assim dado

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # temos

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # ou

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ou

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ou

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

analisando agora #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # temos

#min g (x) = 0 # para #x em RR # assim #g (x) ge 0 # e então a curvatura em

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # não muda sinal então concluímos que #f (x) # epígrafe é convexo em # RR #