Responda:
Já respondi aqui.
Explicação:
Você precisa primeiro encontrar # sin18 ^ @ #, cujos detalhes estão disponíveis aqui.
Então você pode obter # cos36 ^ @ # como mostrado aqui.
Responda:
Nós resolvemos #cos (2 theta) = cos (3 theta) # ou # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # para # x = cos 144 ^ circ # e pegue #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqr {5}). #
Explicação:
Nós temos #cos 36 ^ circ # levemente indiretamente da fórmula de ângulo duplo e triplo para cosseno. É muito legal como é feito e tem um final surpreendente.
Vamos nos concentrar em #cos 72 ^ circ #. O ângulo # theta = 72 ^ circ # satisfaz
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Vamos resolver isso para # theta #, recordando #cos x = cos a # tem soluções #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # ou # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Isso inclui o # 360 ^ circ k # então podemos soltar a parte "ou".
Eu não estou escrevendo um mistério aqui (apesar do final surpreendente) então eu vou mencionar isso #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # também é uma solução válida e vemos como ela está relacionada à questão.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 teta -1 = 4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta #
Agora deixe # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Nós sabemos # x = cos (0 vezes 72 ^ circ) = 1 # é uma solução tão # (x-1) # é um fator:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
O quadrático tem raízes
#x = 1/4 (-1 sqrt {5}) #
O positivo deve ser #cos 72 ^ circ # e o negativo #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Essa é a resposta. A surpresa é a metade da proporção áurea!
