Pergunta # 27939

Responda:

Como Sudip Sinha apontou # -1 + sqrt3i # NÃO é um zero. (Eu deixei de verificar isso.) Os outros zeros são # 1-sqrt3 i # e #1#.

Explicação:

Como todos os coeficientes são números reais, quaisquer zeros imaginários devem ocorrer em pares conjugados.

Assim sendo, # 1-sqrt3 i # é um zero.

E se # c # é um zero então # z-c # é um fator, então poderíamos multiplicar

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # para obter # z ^ 2-2z + 4 #

e depois dividir #P (z) # por essa quadrática.

Mas é mais rápido considerar o possível zero racional para # P # primeiro. Ou adicione os coeficientes para ver #1# é também um zero.

Responda:

#1# e # 1 - sqrt3 i #

Explicação:

Existe um erro na sua pergunta. A raiz deve ser # 1 + sqrt3 i #. Você pode verificar isso colocando o valor na expressão. Se for uma raiz, a expressão deve ser avaliada como zero.

A expressão tem todos os coeficientes reais, então pelo Teorema das Raízes Conjugadas Complexas (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), temos que a outra raiz complexa é # 1 - sqrt3 i #, Claramente, a terceira raiz (digamos #uma#tem que ser real, pois não pode ter um conjugado complexo; caso contrário, haverá quatro raízes, o que não é possível para uma equação de terceiro grau.

Nota

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Desde a # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Vamos tentar obter esse fator na expressão.

Nós podemos escrever:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Responda:

Como introdução, acho que a raiz deveria ser #color (azul) (1 + sqrt3) # e não #color (vermelho) (- 1 + sqrt3) #

Nessa base minha resposta é:

#z em {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Explicação:

Ao usar a ideia de conjugados complexos e alguns outros truques legais.

#P (z) # é um polinômio de grau #3#. Isto implica que só deve ter #3# raízes.

Um fato interessante sobre raízes complexas é que elas nunca ocorrem sozinhas. Elas sempre ocorrem pares conjugados.

Então se # 1 + isqrt3 # é uma raiz, então seu conjugado: # 1-isqrt3 # certamente é uma raiz também!

E como há apenas mais uma raiz, podemos chamar essa raiz # z = a #.

Não é um número complexo porque as raízes complexas sempre ocorrem em pares.

E como este é o último dos #3# raízes, não pode haver outro par após o primeiro!

No final, os fatores de #P (z) # foram facilmente encontrados para ser # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "e" (z-a) #

NB: Note que a diferença entre uma raiz e um fator é que:

- Uma raiz pode ser # z = 1 + i #

Mas o fator correspondente seria # z- (1 + i) #

O segundo truque é que, por factoring #P (z) # devemos ter algo assim:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Em seguida, expanda as chaves

#P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Em seguida, equacionamos isso com o polinômio original #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Como os dois polinômios são idênticos, equacionamos os coeficientes de # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #e # z ^ 0 #(o termo constante) em ambos os lados,

Na verdade, precisamos apenas escolher uma equação e resolvê-la para #uma#

Equando os termos constantes, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Daí a última raiz é #color (azul) (z = 1) #