Qual é a forma do vértice da equação da parábola com um foco em (0, -15) e uma diretriz de y = -16?

A forma do vértice de uma parábola é # y = a (x-h) + k #, mas com o que é dado é mais fácil começar olhando para o formulário padrão, # (x-h) ^ 2 = 4c (y-k) #.

O vértice da parábola é # (h, k) #, a diretriz é definida pela equação # y = k-c #, e o foco é # (h, k + c) #. # a = 1 / (4c) #.

Para esta parábola, o foco # (h, k + c) # é #(0,'-'15)# assim # h = 0 # e # k + c = "-" 15 #.

A diretriz # y = k-c # é #y = "-" 16 # assim # k-c = "-" 16 #.

Agora temos duas equações e podemos encontrar os valores de #k # e # c #:

# {(k + c = "-" 15), (k-c = "-" 16):} #

Resolvendo este sistema dá #k = ("-" 31) / 2 # e # c = 1/2 #. Desde a # a = 1 / (4c) #, # a = 1 / (4 (1/2)) = 1/2 #

Conectando os valores de #uma#, # h #e #k # na primeira equação, sabemos que a forma do vértice da parábola é # y = 1/2 (x-0) + ("-" 31) / 2 #ou # y = 1 / 2x - ("-" 31) / 2 #