Como você resolve 1 = cot ^ 2 x + csc x?

Responda:

#x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

para #k em ZZ #

Explicação:

# cot ^ 2x + cscx = 1 #

Use a identidade: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => berço ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => berço ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Substitua isso na equação original, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Esta é uma equação quadrática na variável # cscx # Então você pode aplicar a fórmula quadrática, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Caso #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Lembre-se de que: # cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Solução geral (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Temos que rejeitar (negligenciar) esses valores porque o #berço# função não é definida para múltiplos de # pi / 2 # !

Caso #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sen (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Solução geral (2): #x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Responda:

Resolver berço ^ 2 x + csc x = 1

Resposta: # (pi) / 2; (7pi) / 6 e (11pi) / 6 #

Explicação:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Chame sin x = t

Desde a + b + c = 0, use atalho: 2 raízes reais são:

t = 1 e #t = -1 / 2 #

uma. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # e #x = (11pi) / 6 #