Como você integra int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Responda:

Use um #você#-substituição para obter # -3lnabs (cot (t)) + c #.

Explicação:

Primeiro, note que porque #3# é uma constante, podemos extraí-la da integral para simplificar:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Agora - e esta é a parte mais importante - observe que a derivada de #cot (t) # é #cscs ^ 2 (t) #. Porque temos uma função e sua derivada presentes na mesma integral, podemos aplicar uma #você# substituição como esta:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Nós podemos converter o positivo # csc ^ 2 (t) # para um negativo como este:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

E aplique a substituição:

# -3int (du) / u #

Nós sabemos isso #int (du) / u = lnabs (u) + c #, então avaliar a integral é feito. Nós só precisamos inverter o substituto (colocar a resposta de volta em termos de # t #) e anexar #-3# para o resultado. Desde a # u = cot (t) #, nós podemos dizer:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3nnabs (cot (t)) + c #

E isso é tudo.

Responda:

# 3ln | csc 2t --cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Explicação:

# 3 int csc ^ 2 t / berço t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Lembre-se disso

#sin 2t = 2sint * cost #

assim

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Como podemos encontrar em uma tabela de integrais

(por exemplo Tabela de integrais contendo Csc (ax) no SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

nós temos esse resultado

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3nn | tan t | + const. #