Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = xeu ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Responda:

#(0,0)# é um ponto de sela

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # e # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # são máximos locais

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # e # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # são mínimos locais

# (0, pm 1 / sqrt 2) # e # (pm 1 / sqrt 2,0) # são pontos de inflexão.

Explicação:

Para uma função geral #F (x, y) # com um ponto estacionário em # (x_0, y_0) # nós temos a expansão da série de Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Para a função

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

temos

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

É fácil ver que ambos os primeiros derivados desaparecem nos seguintes ponrs

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Para examinar a natureza desses pontos estacionários, precisamos examinar o comportamento das segundas derivações.

Agora

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

e da mesma forma

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

e

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Então para #(0,0)# temos # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - conseqüentemente

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Se você se aproxima #(0,0)# ao longo da linha # x = y #, isso se torna

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

e entao #(0,0)# é obviamente um mínimo se você se aproximar dessa direção. Por outro lado, se você se aproxima da linha # x = -y # temos

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

e entao #(0,0)# é um máximo nessa direção, portanto #(0,0)# é um ponto de sela.

Para # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # é facilmente visto que

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

o que significa que

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Então, a função diminui da maneira que você se afasta # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # e isso é um máximo local. É facilmente visto que o mesmo vale para # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (isso deveria ser óbvio, já que a função permanece a mesma sob # (x, y) para (-x, -y) #!

Mais uma vez, para ambos # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # e # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # temos

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Portanto, ambos os pontos são mínimos locais.

Os quatro pontos # (0, pm 1 / sqrt2) # e # (pm 1 / sqrt2, 0) # são mais problemáticos - já que todos os derivativos de segunda ordem desaparecem nesses pontos. Temos que olhar agora para derivadas de ordem superior. Felizmente, nós realmente não precisamos trabalhar muito para isso - o próximo rendimento derivativo

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

que é diferente de zero para ambos # (0, pm 1 / sqrt2) # e # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Agora, isso significa que, por exemplo

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

o que mostra que isso aumentará de # f (0,1 / sqrt 2) # em uma direção, e diminuir a partir dela na outra. portanto # (0,1 / sqrt2) # é um ponto de inflexão. O mesmo argumento funciona para os outros três pontos.