Você deposita US $ 200 em uma conta de poupança. Para cada ano subsequente, você planeja depositar 15% a mais do que no ano anterior. Quanto dinheiro você terá depositado em todos depois de 20 anos?

Responda:

# $ cor (branco) (l) 20488.72 #

Explicação:

Montantes que a pessoa em questão deposita a cada ano

• # $ cor (branco) (l) 200 # em primeiro # 1 "st" # ano,
• # (1 + 15%) xx $ cor (branco) (l) 200 # no segundo # 2 "nd" # ano,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ cor (branco) (l) 200 # no terceiro # 3 "rd" # ano,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ cor (branco) (l) 200 # no vigésimo # 20 "th" # ano,

formar uma sequência geométrica.

Uma fórmula geral dá a soma do primeiro #n "th" # termos de uma sequência geométrica de proporção comum # r # e primeiro termo # a_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1 xx (1-r ^ n) / (1-r) #

A seqüência geométrica nesta questão tem

#r = 1 + 15% = 1,15 #

como sua relação comum e

# a_1 = $ color (white) (l) 200 #

como o primeiro termo, o que equivale ao depósito no primeiro ano.

A questão é pedir a soma dos primeiros vigésimos termos dessa seqüência, implicando # n = 20 #; substituindo # n #, # r #e # a_1 # com seus respectivos valores e avaliando a soma dá

#sum_ (i = 1) ^ (20) 1.15 ^ (i-1) xx $ cor (branco) (l) 200 = $ cor (branco) (l) 200 xx (1-1.15 ^ 20) / (1- 1,15) = $ cor (branco) (l) 20488.72 #

(arredondado para as duas casas decimais)

Portanto, a pessoa teria depositado # $ cor (branco) (l) 20488.72 # no total nos vinte anos.