Qual é o domínio de definição de y = log_10 (1- log_10 (x ^ 2 -5x +16))?

Responda:

O domínio é o intervalo #(2, 3)#

Explicação:

Dado:

#y = log_10 (1-log_10 (x ^ 2-5x + 16)) #

Suponha que queremos lidar com isso como uma função real e valiosa de números reais.

Então # log_10 (t) # está bem definido se e somente se #t> 0 #

Observe que:

# x ^ 2-5x + 16 = (x-5/2) ^ 2 + 39/4> 0 #

para todos os valores reais de # x #

Assim:

# log_10 (x ^ 2-5x + 16) #

está bem definido para todos os valores reais de # x #.

Para que # log_10 (1-log_10 (x ^ 2-5x + 16)) # ser definido, é necessário e suficiente que:

# 1 - log_10 (x ^ 2-5x + 16)> 0 #

Conseqüentemente:

# log_10 (x ^ 2-5x + 16) <1 #

Tomando expoentes de ambos os lados (uma função monotonicamente crescente), obtemos:

# x ^ 2-5x + 16 <10 #

Isso é:

# x ^ 2-5x + 6 <0 #

quais fatores como:

# (x-2) (x-3) <0 #

O lado esquerdo é #0# quando # x = 2 # ou # x = 3 # e negativo no meio.

Então o domínio é #(2, 3)#