Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Responda:

# {: ("Ponto Crítico", "Conclusão"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sela"), ((-1,2), "sela "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Explicação:

A teoria para identificar os extremos de # z = f (x, y) # é:

Resolva simultaneamente as equações críticas

# (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 # (ie # z_x = z_y = 0 #)
Avalie #f_ (x x), f_ (yy) e f_ (xy) (= f_ (yx)) # em cada um desses pontos críticos. Por isso avalie # Delta = f_ (x x) f_ (aa) -f_ (xy) ^ 2 # em cada um desses pontos
Determine a natureza dos extremos;

# {: (Delta> 0, "Há um mínimo se" f_ (xx) <0), (, "e um máximo se" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "há um ponto de sela"), (Delta = 0, "Mais análise é necessária"):} #

Então nós temos:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Vamos encontrar as primeiras derivadas parciais:

# (parcial f) / (parcial x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (parcial f) / (parcial y) = 2xy + 2y #

Portanto, nossas equações críticas são:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Da segunda equação temos:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # na primeira equação e conseguimos:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # na primeira equação e conseguimos:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

E então nós temos quatro pontos críticos com coordenadas;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Então, agora vamos olhar as segundas derivadas parciais para que possamos determinar a natureza dos pontos críticos:

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 12x + 10 #

# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = 2x + 2 #

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y) = 2y (= (parcial ^ 2f) / (parcial y parcial x)) #

E devemos calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y)) ^ 2 #

em cada ponto crítico. Os segundos valores derivados, #Delta#e conclusão são as seguintes:

# {: ("Ponto Crítico", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y), Delta, "Conclusão"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, 0, "sela"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sela"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Podemos ver esses pontos críticos se olharmos para um enredo em 3D: