Pergunta # 31a2b

Responda:

Use a regra de potência reversa para integrar # 4x-x ^ 2 # de #0# para #4#, para acabar com uma área de #32/3# unidades.

Explicação:

A integração é usada para encontrar a área entre uma curva e # x #- ou # y #-axis, e a região sombreada aqui é exatamente essa área (entre a curva e o # x #-axis, especificamente). Então tudo o que temos a fazer é integrar # 4x-x ^ 2 #.

Também precisamos descobrir os limites da integração. Do seu diagrama, vejo que os limites são os zeros da função # 4x-x ^ 2 #; no entanto, temos que descobrir valores numéricos para esses zeros, que podemos realizar por fatoração # 4x-x ^ 2 # e definindo-o igual a zero:

# 4x-x ^ 2 = 0 #

#x (4-x) = 0 #

# x = 0 ##color (branco) (XX) e cor (branco) (XX) ## x = 4 #

Portanto, integraremos # 4x-x ^ 2 # de #0# para #4#:

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx #

# = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 -> # usando a regra de potência reversa (# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #)

#=((2(4)^2-(4)^3/3)-(2(0)^2-(0)^3/3))#

#=((32-64/3)-(0))#

#=32/3~~10.67#